Welcome To Ulayya's Blog: HIMPUNAN, RELASI & FUNGSI

A. Himpunan adalah kumpulan benda/objek yang dapat didefinisikan dengan jelas.
Contoh :
1. Kumpulan kata penyusun "MATEMATIKA"
Kata penyusun "MATEMATIKA" sudah jelas, yaitu {M,A,T, E , I, K}

B. Menyatakan Suatu Himpunan

Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan :
1. Suatu kalimat
2. Notasi pembentuk himpunan
3. Mendaftar keanggotaan

Contoh :
A adalah tokoh-tokoh yang pernah menjadi presiden RI sebelum pemilu 2009.

Dengan suatu kalimat :
-> A = { tokoh-tokoh yang pernah menjadi presiden RI sebelum pemilu 2009}

Dengan notasi pembentuk himpunan :
-> A = {x | x = tokoh - tokoh yang pernah menjadi presiden RI sebelum pemilu 2009}

Dengan mendaftar keanggotaan :
-> A = {Soekarno, Soeharto, B.J. Habibie, Gusdur, Megawati, SBY }

C. Anggota Himpunan

Setiap benda atau objek yang termasuk dalam suatu himpunan disebut anggota/unsur/elemen himpunan tersebut. Untuk menyatakan suatu objek merupakan anggota himpunan, dituliskan dengan lambang " $\epsilon$ ", sedangkan untuk menyatakan suatu objek yang bukan merupakan anggota himpunan ditulis dengan lambang " $\notin$ ".

Contoh :
A = {3,4,5}
3 $\in$ A
4 $\in$ A
5 $\in$ A
6 $\notin$ A

n(A) = 3
n(A) merupakan banyaknya anggota himpunan dalam A.

D. Himpunan Bagian

Perhatikan Himpunan-himpunan berikut:
A = {Himpunan hewan}
B = {Himpunan hewan berkaki empat}
C = {Himpunan hewan berkaki empat yang bertelur}

Misalkan A, B dan C adalah sebagai berikut :
A = {Kucing, anjing, buaya, kura-kura, burung}
B = {kucing, anjing, buaya, kura-kura}
C = {buaya, kura-kura}

Jika kita perhatikan, setiap anggota B merupakan anggota himpunan A, ditulis B $\subset$ A, dan setiap anggota himpunan C merupakan anggota himpunan B, ditulis C $\subset$ B. Namun, kita tidak dapat menuliskan A $\subset$ B, karena ada anggota A yang bukan merupakan anggota B, yaitu burung. Oleh karena itu himpunan yang demikian ditulis A $\nsubseteq$ B.

Perhatikan himpunan-himpunan berikut!
A = {a}, banyaknya himpunan bagian ada 2, yaitu {a} dan $\O$
A = {a,b}, banyaknya himpunan bagian ada 4 yaitu {a}, {b}, {a,b} dan $\O$
Jika kita perhatikan banyak himpunan bagian dari himpunan A diperoleh pernyataan sebagai berikut :

Jika banyaknya anggota himpunan A adalah n dan banyaknya himpunan bagian dari A adalah N, berlaku rumus :

N = 2ⁿ

Contoh :
Tentukan banyaknya himpunan bagian dari A = {1,2,3,4}
Jawab :
n(A) = 4
Jadi, N = 2⁴ = 16

E. Himpunan Kosong dan Himpunan Semesta

Himpunan kosong adalah suatu himpunan yang tidak mempunyai anggota dan dinotasikan dengan $\O$ atau {}.

Contoh :
Jika H adalah himpunan nama-nama hari yang dimulai dengan huruf B, nyatakan dalam notasi himpunan H.
Jawab :
H = $\O$ atau H = {} karena tidak ada nama hari yang dimulai dengan huruf B.

Himpunan semesta atau semesta pembicaraan adalah himpunan yang memuat semua objek yang sedang dibicarakan. Hal ini berarti semesta pembicaraan mempunyai anggota yang sama atau lebih banyak dari pada himpunan yang sedang dibicarakan. Himpunan semesta disebut juga himpunan universal dan disimbolkan dengan S atau U.

Contoh :
R = {3,5,7}
Himpunan semesta yang mungkin untuk himpunan R diantaranya :
a. S = R = {3,5,7}
b. S = {Bilangan ganjil}
c. S = {Bilangan cacah}
d. S = {Bilangan prima}

F. Diagram Venn

Himpunan dapat dinyatakan dalam bentuk gambar yang dikenal sebagai diagram Venn. Diagram Venn diperkenalkan oleh pakar Matematika Inggris pada tahun 1834 - 1923 bernama John Venn.

Dalam membuat diagram Venn yang perlu diperhatikan yaitu :
1. Himpunan semesta (S) digambarkan sebagai persegi panjang dan huruf S diletakkan disudut kiti atas persegi panjang.
2. Setiap himpunan yang dibicarakan (selain himpunan kosong) ditunjukkan oleh kurva tersebut.
3. Setiap anggota ditunjukkan dengan noktah (titik)
4. Bila anggota suatu himpunan banyak sekali, maka anggota-anggotanya tidak perlu dituliskan.

Contoh :
Buatlah diagram Venn dari himpunan-himpunan berikut ini S = {1,2,3,4,5,6,7} dan A = {4,5}, dan R = {1,3,6}
Jawab :

Diagram untuk himpunan S,A,R adalah seperti pada gambar disamping. Anggota A dan Anggota R tidak ada yang sama, maka diagram A dan R terpisah.

G. Irisan dan Gabungan Dua Himpunan

Jika P = {1,2,3,4} dan Q = {3,4,5} maka 3 dan 4 adalah anggota sekutu dari P dan Q. Sedangkan 1 dan 2 menjadi anggota P tetapi bukan anggota Q dan 5 menjadi anggota Q tetapi bukan anggota P. Himpunan yang memuat semua anggota sekutu dari P dan Q disebut irisan dari P dan Q, ditulis P $\cap$ Q = {3,4}

Contoh :
A = {bilangan asli kurang dari 6}
B = {2,4,6}

1. Tentukan A $\cap$ B
2. Lukiskan dengan diagram Venn

Jawab :
1. A = {1,2,3,4,5}
B = {2,4,6}
A $\cap$ B = {2,4}

2.

Gabungan dari dua himpunan akan menghasilkan suatu himpunan baru yang anggotanya terdiri dari anggota kedua himpunan tersebut. Operasi gabungan pada himpunan disimbolkan dengan " $\cup$ ".
Misalkan P = {2,3,4,5} dan Q = {1,2,4,6} maka P $\cup$ Q = {1,2,3,4,5,6}

Pengertian Relasi

Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah hubungan yang memasangkan anggota-anggota himpunan A dengan anggota-anggota himpunan B. Dalam mengerjakan soal relasi dapat dikerjakan menggunakan tiga metode yaitu diagram panah, diagram cartesius, dan himpunan pasangan berurutan.

contoh soal:

A = {Buyung, Doni, Vita, Putri}, B = {IPS, kesenian, keterampilan, olahraga, matematika, IPA, bahasa Inggris}, dan “pelajaran yang disukai” adalah relasi yang menghubungkan himpunan A ke himpunan B.

keterangan: Buyung suka IPS dan kesenian, Doni suka Ketrampilan dan Olahraga, Vita suka IPA, dan Putri suka Matematika dan Bahasa Inggris.

Jawaban dengan tiga metode:

a. Dengan metode diagram panah